Dalla crescita dei cristalli agli algoritmi di machine learning: l’equazione universale che li accomuna tutti trova conferma in laboratorio

A quarant’anni dalla sua formulazione teorica, l’equazione di Kardar-Parisi-Zhang ottiene la prima conferma sperimentale in sistemi bidimensionali nello spazio e nel tempo: un risultato del gruppo di Würzburg pubblicato su Science, ottenuto iniettando polaritoni in un semiconduttore ingegnerizzato con precisione atomica, apre nuovi scenari per la comprensione dei processi fuori equilibrio in fisica, biologia e informatica.

Una legge universale per la crescita delle superfici

Cristalli che si formano su un substrato, colonie batteriche che avanzano su un terreno di coltura, fronti di fiamma che si propagano in un mezzo disomogeneo: fenomeni fisicamente diversissimi che condividono, a livello matematico, la stessa struttura profonda. La crescita di una superficie è sempre un processo non lineare e stocastico, e questa universalità è catturata da una singola equazione differenziale parziale introdotta nel 1986 da Mehran Kardar, Giorgio Parisi e Yi-Cheng Zhang, la cosiddetta equazione KPZ (Kardar-Parisi-Zhang).

Sin dalla sua introduzione, l’equazione KPZ ha operato come modello minimale per descrivere come processi locali, rumorosi e asimmetrici fuori equilibrio diano origine a comportamenti emergenti su grande scala. Il concetto chiave che la rende così potente è quello di classe di universalità: sistemi microscopicamente diversi, con regole di interazione completamente differenti, possono produrre fluttuazioni statistiche con gli stessi esponenti critici e le stesse distribuzioni di probabilità. È la stessa logica che fa sì che il moto browniano descriva tanto il polline in acqua quanto i prezzi dei titoli finanziari, ma applicata a sistemi fuori dall’equilibrio termodinamico.

La classe KPZ descrive un ampio spettro di fluttuazioni fuori equilibrio, tra cui la crescita di interfacce, i polimeri diretti in ambienti disordinati e il trasporto di particelle con interazione. Le applicazioni si estendono dalla fisica della materia condensata alla biologia delle popolazioni, dai modelli matematici del traffico stradale alla dinamica dell’entanglement quantistico. Perfino alcuni aspetti degli algoritmi di machine learning moderni ricadono nel perimetro formale della classe KPZ, nella misura in cui i loro processi di ottimizzazione possono essere mappati su dinamiche di interfacce stocastiche.

Quarant’anni di attesa: perché la conferma sperimentale in 2D era così difficile

L’equazione KPZ ha ricevuto la sua prima conferma sperimentale in sistemi unidimensionali solo in tempi relativamente recenti. Un gruppo di ricerca a Tokyo ha ottenuto risultati decisivi nel 2010-2011 usando cristalli liquidi turbolenti, e nel 2022 un gruppo di ricerca a Parigi ha fornito la prima evidenza sperimentale del comportamento KPZ in un sistema unidimensionale basato su polaritoni.

Il salto alla dimensionalità superiore, al 2D, era un problema di tutt’altra natura. Nello stato dell’arte teorico, la classe di universalità KPZ in due dimensioni spaziali (2D KPZ) è un caso in cui deviazioni microscopiche dall’equilibrio generano leggi di scala macroscopiche senza controparti di equilibrio. Questo la rende sperimentalmente molto più sfuggente: le firme statistiche da misurare richiedono la risoluzione simultanea delle correlazioni sia nello spazio che nel tempo, su scale spaziali e temporali estremamente piccole.

C’era inoltre un ostacolo teorico specifico: in due dimensioni, la presenza di vortici topologici nel condensato rischiava di mascherare o sopprimere il comportamento KPZ, producendo invece una transizione di tipo Berezinskii–Kosterlitz–Thouless (BKT), un regime critico completamente diverso già noto da decenni nella fisica della materia condensata 2D. La coesistenza potenziale di questi due scenari ha reso la verifica in 2D un banco di prova particolarmente delicato, su cui teorici e sperimentatori si confrontano da oltre un decennio.

L’idea chiave: usare i polaritoni come simulatori quantistici

La svolta concettuale che ha reso possibile l’esperimento di Würzburg risale al 2015 e si deve a Sebastian Diehl, professore di fisica teorica all’Università di Colonia. L’idea centrale era di sfruttare i polaritoni non solo come sonde passive di un sistema fisso, ma come protagonisti attivi di un processo di crescita che essi stessi incarnano.

I polaritoni sono quasiparticelle ibride che si formano quando fotoni e eccitoni (coppie elettrone-lacuna in un semiconduttore) interagiscono così fortemente da non poter più essere considerati entità separate: il sistema entra in un regime di accoppiamento forte, producendo due nuovi stati propri (il polaritone inferiore e superiore) che hanno simultaneamente carattere di materia e di luce. La loro natura duale li rende unici: i fotoni conferiscono una massa effettiva estremamente piccola e un’alta velocità di propagazione, mentre gli eccitoni forniscono le interazioni che rendono il sistema fisicamente ricco.

Crucialmente, i polaritoni esistono solo fuori dall’equilibrio termodinamico. Vengono creati dall’eccitazione laser e decadono in pochi picosecondi abbandonando il sistema sotto forma di fotoni emessi. Questa natura intrinsecamente non stazionaria è precisamente la condizione richiesta dall’equazione KPZ, che descrive sistemi mantenuti fuori equilibrio da un flusso continuo di energia. La dinamica di fase del condensato di polaritoni può essere mappata direttamente sull’equazione KPZ, trasformando ogni sessione di misura in una simulazione quantistica del processo di crescita.

La fabbricazione del campione: ingegneria atomica su scala micrometrica

Tradurre questa idea in un esperimento funzionante ha richiesto una catena di sfide tecnologiche straordinariamente severe. Il gruppo sperimentale di Würzburg, guidato dal professore Sven Höfling, ha dovuto progettare e fabbricare un campione semiconduttore in grado di supportare condensati di polaritoni bidimensionali stabili e misurabili con la precisione richiesta dalla verifica della classe KPZ.

Il campione è basato su arseniuro di gallio (GaAs), un semiconduttore III-V con proprietà ottiche eccellenti e una lunga storia nelle applicazioni di optoelettronica. La struttura è una microcavità di tipo Fabry–Pérot: due specchi altamente riflettenti (realizzati come riflettori di Bragg distribuiti, DBR) confinano i fotoni in una regione centrale dove sono presenti pozzi quantistici di GaAs. È in questo strato attivo che i fotoni si accoppiano con gli eccitoni per formare i polaritoni.

La realizzazione degli specchi DBR con la riflettività richiesta (superiore al 99,9%) impone un controllo della spessore di ogni singolo strato a livello subatomico. Controllando con precisione lo spessore dei singoli strati di materiale tramite epitassia a fasci molecolari, i ricercatori hanno potuto modulare le proprietà ottiche e fabbricare gli specchi altamente riflettivi necessari, in condizioni di ultravuoto. L’epitassia a fasci molecolari (MBE, Molecular Beam Epitaxy) è la tecnica standard per questo tipo di crescita: atomi o molecole vengono evaporati in ultravuoto e depositati sul substrato con un controllo monostrato per monostrato, consentendo di realizzare interfacce cristalline praticamente perfette.

Il campione finale aveva dimensioni di circa 20 micrometri. Su questa scala, il laser di eccitazione doveva colpire il campione con una precisione micrometrica, e i parametri dell’eccitazione dovevano essere mantenuti stabili per l’intera durata delle misure. Il sistema è stato raffreddato a −269,15°C (4 K, appena sopra lo zero assoluto) e continuamente eccitato con un laser per mantenere la popolazione di polaritoni in uno stato stazionario fuori equilibrio.

La misura: correlazioni di fase nello spazio e nel tempo

Il parametro fisico centrale che il gruppo ha misurato è la funzione di correlazione di fase del condensato di polaritoni. La fase di un condensato quantistico è una quantità che fluttua nello spazio e nel tempo a causa del rumore intrinseco del sistema, e il modo in cui queste fluttuazioni si correlano su diverse scale spaziali e temporali porta la firma della classe di universalità a cui il sistema appartiene.

Usando spettroscopia di fotoluminescenza risolta in momento e interferometria risolta sia nello spazio che nel tempo, i ricercatori hanno sondato le correlazioni di fase attraverso sistemi microscopicamente diversi, variando le condizioni di eccitazione in due geometrie reticolari distinte. La scelta di verificare la classe KPZ in due geometrie di reticolo differenti era metodologicamente deliberata: uno dei punti centrali della classe di universalità è precisamente che i risultati non dipendono dai dettagli microscopici del sistema. Trovare gli stessi esponenti di scala in due configurazioni strutturalmente diverse costituisce una prova molto più robusta della semplice misura su un unico campione.

Gli esponenti critici misurati, in particolare l’esponente di rugosità e l’esponente di crescita che caratterizzano il modo in cui le correlazioni di fase decadono nello spazio e nel tempo, erano in eccellente accordo con le previsioni teoriche della classe 2D KPZ. L’analisi ha rivelato dinamiche di correlazione ed esponenti di scala in ottimo accordo con le previsioni 2D KPZ, stabilendo i condensati di polaritoni eccitone come piattaforma sperimentale robusta per esplorare quantitativamente l’universalità bidimensionale fuori equilibrio.

Il ruolo del reticolo discreto nella soppressione dei vortici

Un aspetto tecnico del risultato merita attenzione particolare: la geometria reticolare del campione, con i polaritoni confinati in siti discreti accoppiati tra loro, gioca un ruolo fisico cruciale nel far emergere il comportamento KPZ invece di quello BKT. Simulazioni numeriche precedenti avevano già suggerito questa possibilità: in un sistema di polaritoni 2D discretizzato, le proprietà universali KPZ possono emergere, con la funzione di correlazione del primo ordine del condensato che mostra comportamenti esponenziali allungati nello spazio e nel tempo con esponenti critici caratteristici della classe 2D KPZ.

La discretizzazione sopprime la comparsa dei vortici topologici che avrebbero potuto portare il sistema verso il regime BKT. In un sistema continuo, i vortici si formano liberamente e possono dominare la fisica a basse energie, mascherando la dinamica KPZ. In un reticolo, l’energia necessaria per nucleare un vortice è più alta, e il sistema rimane nel regime KPZ su una gamma di parametri sperimentalmente accessibile. Questa non è solo una sottigliezza tecnica: è la ragione per cui la dimostrazione sperimentale in 2D ha richiesto decenni. I sistemi di polaritoni continui precedentemente studiati si trovavano sistematicamente in un regime in cui la competizione tra KPZ e BKT rendeva impossibile l’identificazione univoca della classe di universalità.

Perché questo risultato è importante oltre la fisica del condensato

La portata di questa conferma sperimentale si estende ben oltre il dominio della fisica della materia condensata. La classe KPZ in due dimensioni descrive processi di crescita che si incontrano in contesti scientifici tra loro molto lontani.

In biologia, la crescita dei fronti di espansione di popolazioni microbiche è stata studiata come laboratorio naturale per le fluttuazioni fuori equilibrio combinate con la dinamica evolutiva. I fronti sono intrinsecamente rumorosi e fluttuanti, e la rugosità dell’interfaccia porta direttamente alla firma KPZ. Capire quantitativamente come i fronti biologici crescono in 2D (come avviene nella colonizzazione di superfici da parte di biofilm, nelle invasioni cellulari nei tessuti, o nella proliferazione di tumori su substrati bidimensionali) richiede precisamente i parametri che il team di Würzburg ha ora misurato con accuratezza sperimentale.

In fisica dei materiali, la crescita di film sottili e la rugosità delle superfici cristalline durante la deposizione sono processi KPZ per definizione. Poter verificare sperimentalmente che un sistema 2D reale segue la classe KPZ con gli esponenti teoricamente previsti significa poter usare quegli esponenti come riferimento quantitativo per testare modelli di crescita in applicazioni tecnologiche, dalla deposizione di semiconduttori alla sintesi di materiali per elettrodi nelle batterie.

Sul versante matematico, la classe KPZ in 2D è un problema ancora parzialmente aperto rispetto alla sua controparte monodimensionale, per la quale esistono soluzioni esatte ottenute tramite metodi di integrabilità. Il fatto che la fisica sperimentale produca ora dati affidabili sulla distribuzione delle fluttuazioni in 2D offrirà nuovi benchmark per i matematici che lavorano sull’equazione KPZ stocastica e sulle sue proprietà di regolarità, un campo che ha ricevuto nel 2014 la Medaglia Fields con il lavoro di Martin Hairer sulla teoria delle strutture di regolarità applicata all’equazione KPZ.

CATL e il contesto istituzionale: il Cluster ctd.qmat

Il lavoro è uscito firmato da un gruppo numeroso che include Simon Widmann e Siddhartha Dam come autori sperimentali principali, con il contributo teorico fondamentale di Sebastian Diehl (Università di Colonia) e la supervisione di Sven Höfling e Sebastian Klembt all’Università di Würzburg. Il Cluster of Excellence ctd.qmat (Complexity, Topology and Dynamics in Quantum Matter), che coinvolge l’Università Julius-Maximilians di Würzburg e la Technische Universität Dresden, riunisce circa 300 ricercatori da oltre 30 paesi all’interfaccia tra fisica, chimica e scienza dei materiali. Nel 2026 il cluster è entrato nel secondo periodo di finanziamento nell’ambito della Strategia dell’Eccellenza tedesca, con un focus ampliato sulla dinamica dei processi quantistici.

Il risultato è pubblicato su Science, con il titolo “Observation of Kardar-Parisi-Zhang universal scaling in two dimensions” (DOI: 10.1126/science.aeb4154). I dati sperimentali completi, comprese le funzioni di correlazione di fase misurate nelle due geometrie reticolari, sono stati depositati in un repository pubblico dell’Università di Würzburg, secondo i principi FAIR della scienza aperta.

Cosa rimane aperto

Il risultato di Würzburg chiude una questione aperta da quarant’anni, ma al tempo stesso definisce con precisione i confini di ciò che resta da capire. La dimostrazione attuale riguarda condensati di polaritoni in ambienti controllati, reticoli di circa 20 micrometri a 4 K, con parametri accuratamente ottimizzati per mantenere il sistema nel regime KPZ. Estendere questa osservazione a sistemi più grandi, a temperature più alte, o in geometrie aperte dove il confine del sistema gioca un ruolo, sono tutti problemi sperimentali non banali.

Sul piano teorico, il lavoro apre nuove strade per indagare l’emergenza della coerenza in sistemi quantistici interagenti lontani dall’equilibrio, e stabilisce i condensati 2D guidati e dissipativi come fasi genuine di materia non termica. Questa classificazione ha implicazioni per la comprensione dei sistemi quantistici aperti in generale, un settore in rapida espansione anche in vista delle applicazioni ai computer quantistici, dove il controllo della dissipazione e del rumore è uno dei problemi ingegneristici più pressanti.

La classe KPZ in 2D ha un carattere fisico radicalmente diverso da quella in 1D: le leggi di scala sono più complesse, le distribuzioni di fluttuazione non hanno ancora la forma analitica esatta nota in una dimensione, e la connessione con le matrici casuali, centrale nella teoria 1D, non ha un equivalente altrettanto sviluppato in 2D. I dati sperimentali ora disponibili forniranno un riferimento quantitativo di alta qualità per guidare questo sviluppo teorico, in un dialogo tra esperimento e matematica che è esattamente il modo in cui la fisica statistica ha prodotto i suoi risultati più profondi.