Cosa sono i "Sette problemi del millennio": stato di ciascuno e regole del premio

Il 24 maggio 2000, al Collège de France di Parigi, il Clay Mathematics Institute annunciò sette problemi aperti e un fondo da sette milioni di dollari, un milione per ciascuna soluzione. Ventisei anni dopo un solo problema risulta risolto e premiato, e il matematico che lo ha risolto ha rifiutato il denaro. L'8 settembre 2026 è arrivato l'annuncio che potrebbe portare al secondo, ma il regolamento rende impossibile assegnare quel premio prima del 2028.

Punti chiave

• Il fondo complessivo è di sette milioni di dollari, un milione per ciascuno dei sette problemi, e nessun enunciato ha una scadenza per la soluzione.

• La congettura di Poincaré è l'unico problema che il Clay Mathematics Institute elenca come risolto, grazie ai tre preprint depositati da Grigori Perelman fra il 2002 e il 2003.

• Perelman ha rifiutato la medaglia Fields nel 2006 e il milione del premio del millennio il primo luglio 2010, e quel fondo ha finanziato per cinque anni la cattedra Poincaré all'Institut Henri Poincaré.

• Il regolamento adottato il 26 settembre 2018 richiede pubblicazione su una sede qualificata, due anni di attesa e accettazione generale prima che una soluzione possa essere valutata.

• L'ipotesi di Riemann è verificata per tutti gli zeri fino ad altezza tremila miliardi, secondo il calcolo con aritmetica di intervalli di Platt e Trudgian pubblicato nel 2021.

• La dimostrazione annunciata l'8 settembre 2026 stabilisce le affermazioni C e D dell'enunciato di Fefferman, che ammettono una forza esterna liscia, e OpenAI ha dichiarato di non voler rivendicare il premio.

Come sono nati i sette problemi

L'istituto nacque a Cambridge, in Massachusetts, nel 1998 per iniziativa dell'imprenditore Landon Clay. La scelta dei problemi fu affidata al consiglio scientifico fondatore, composto da Alain Connes, Arthur Jaffe, Edward Witten e Andrew Wiles, che consultò specialisti in tutto il mondo. Il criterio dichiarato era la resistenza alla soluzione, misurata in decenni, non l'attualità del tema.

Alla giornata parigina parlarono Timothy Gowers sull'importanza della matematica, Michael Atiyah e John Tate sui problemi stessi. Il riferimento storico era esplicito. Nel 1900, sempre a Parigi, David Hilbert aveva elencato ventitré problemi destinati a orientare la matematica del secolo successivo. Un enunciato compare in entrambe le liste, l'ipotesi di Riemann, formulata nel 1859.

Una differenza rispetto a Hilbert riguarda il tempo. I sette problemi del millennio non hanno scadenza. Nessuno degli enunciati porta una data limite e il fondo resta disponibile a tempo indeterminato.

Le regole di assegnazione sono più severe di quanto si creda

La versione vigente delle regole è stata adottata dal consiglio di amministrazione dell'istituto il 26 settembre 2018 e sostituisce ogni formulazione precedente. Chi crede di avere una dimostrazione non può inviarla al Clay Mathematics Institute, che non accetta proposte dirette, non certifica quali riviste siano idonee e non fornisce consulenza su dove pubblicare.

Perché una soluzione entri in valutazione servono tre condizioni simultanee, come stabilisce il regolamento pubblicato dal Clay Mathematics Institute. La dimostrazione deve comparire su una sede editoriale qualificata, devono passare almeno due anni dalla pubblicazione, e nel frattempo il risultato deve avere ottenuto accettazione generale nella comunità matematica mondiale.

Il testo definisce anche cosa rende qualificata una rivista. Serve un comitato editoriale con nomi pubblici e contattabili, un processo di revisione dichiarato, un curatore in grado di individuare un revisore competente per l'area del problema, e l'inclusione negli elenchi di MathSciNet. Se manca uno di questi elementi la sede non vale. Esiste una clausola di flessibilità che permette all'istituto di allentare quei requisiti, ma solo dopo il parere di esperti da esso stesso scelti.

Superate le condizioni formali, l'istituto decide a propria discrezione se il caso merita un esame dettagliato. In caso affermativo nomina un comitato consultivo speciale di almeno tre membri, due dei quali esperti dell'area. Il premio può andare a una sola persona, essere diviso fra più autori o fra i loro eredi, oppure non essere assegnato affatto. Chi vede respinta la propria proposta non ha diritto a spiegazioni. Se un premio viene deliberato, il pagamento deve avvenire entro novanta giorni dalla notifica.

Due dettagli meritano attenzione. Per P contro NP e per Navier-Stokes conta una risoluzione in qualsiasi direzione, quindi anche una dimostrazione che le cose vadano male vale il milione. Per gli altri cinque problemi, chi trova un controesempio che costringe a riformulare l'enunciato senza distruggerlo riceve un riconoscimento minore, deciso caso per caso e pagato con fondi diversi da quelli del premio.

I sette problemi, uno per uno

La congettura di Poincaré, l'unica risolta

Enunciata da Henri Poincaré nel 1904, chiede se la sfera tridimensionale sia l'unica varietà tridimensionale chiusa e semplicemente connessa. In termini meno tecnici, riguarda la possibilità di riconoscere la forma più semplice esistente in tre dimensioni osservando soltanto il comportamento dei cammini chiusi tracciati al suo interno. Il problema era un caso particolare della congettura di geometrizzazione di William Thurston, che classifica ogni varietà tridimensionale a partire da otto geometrie di base.

Grigori Perelman ha chiuso la questione fra il 2002 e il 2003, e il Clay Mathematics Institute lo elenca come unico problema risolto della lista. La dimostrazione ha conseguenze più ampie dell'enunciato originale, perché stabilisce la geometrizzazione completa e quindi dice come è fatta qualunque varietà di dimensione tre.

L'ipotesi di Riemann

Nel 1859 Bernhard Riemann osservò che gli zeri non banali della funzione zeta sembrano disporsi tutti su una retta verticale del piano complesso, quella di parte reale un mezzo. Da quella disposizione dipende la precisione con cui si può prevedere quanti numeri primi si trovano sotto una certa soglia.

Le verifiche numeriche sono impressionanti e insufficienti. Dave Platt e Timothy Trudgian hanno dimostrato con aritmetica di intervalli, in un lavoro pubblicato nel 2021 sul Bulletin of the London Mathematical Society, che l'ipotesi vale per tutti gli zeri fino ad altezza tremila miliardi, e che quegli zeri sono semplici. Nessun calcolo finito dice qualcosa su ciò che accade oltre la soglia raggiunta.

Il progresso teorico più citato degli ultimi anni porta la firma di Larry Guth e James Maynard, che nel 2024 hanno migliorato per la prima volta in modo sostanziale una stima sulla densità degli zeri risalente al 1940 e dovuta ad Albert Ingham. Terence Tao ha descritto quel lavoro come una svolta notevole e insieme molto lontana dalla soluzione del problema. Il guadagno pratico riguarda la distribuzione dei primi in intervalli corti.

P contro NP

Se verificare una soluzione è facile, è facile anche trovarla? Formulata da Stephen Cook e Leonid Levin nei primi anni settanta, la domanda separa i problemi risolvibili in tempo polinomiale da quelli le cui soluzioni sono soltanto controllabili in tempo polinomiale. Una risposta affermativa manderebbe in pezzi la crittografia a chiave pubblica.

La convinzione diffusa è che le due classi siano diverse. Nel terzo sondaggio condotto da William Gasarch fra i teorici della complessità, uscito nel 2019 sulla rubrica di complessità di SIGACT News, circa l'ottanta per cento dei 124 rispondenti indicava P diverso da NP, con una quota che sale quasi al totale fra chi ha lavorato a lungo sul problema. Una convinzione condivisa e una dimostrazione restano cose diverse.

Il problema resiste anche perché sono note barriere formali che escludono interi metodi di attacco. Le tecniche che restano valide in presenza di un oracolo arbitrario non possono decidere la questione, come mostrarono Theodore Baker, John Gill e Robert Solovay, e un'ampia famiglia di argomenti combinatori è esclusa dal risultato sulle dimostrazioni naturali di Alexander Razborov e Steven Rudich. Serviranno idee che oggi nessuno possiede.

Esistenza e regolarità per Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes descrivono il moto di un fluido incomprimibile applicando la seconda legge di Newton a un mezzo trattato come continuo. Sono lo strumento con cui si progetta un'ala, si prevede il tempo, si studia il flusso del sangue. La domanda aperta è interna alla matematica, perché riguarda la tenuta del modello e non la sua utilità.

L'enunciato ufficiale, scritto da Charles Fefferman, propone quattro affermazioni alternative. Le prime due chiedono di dimostrare che, con forza esterna nulla, esistono soluzioni lisce per sempre, nello spazio infinito oppure nel toro periodico. Le altre due chiedono il contrario, cioè l'esistenza di un dato iniziale liscio e di una forza esterna liscia per cui una soluzione regolare a energia limitata non esiste. Dimostrare una qualsiasi delle quattro vale il premio.

Jean Leray dimostrò nel 1934 che esistono sempre soluzioni in senso debole. Se una soluzione perde regolarità in tempo finito, la velocità del fluido diventa illimitata vicino a quell'istante. Il miglior risultato parziale di regolarità resta il teorema di Luis Caffarelli, Robert Kohn e Louis Nirenberg del 1982 sulla dimensione dell'insieme singolare delle soluzioni deboli. Su questo problema è arrivato l'annuncio del settembre 2026 discusso più avanti.

La congettura di Hodge

Su una varietà proiettiva complessa liscia la coomologia si scompone in pezzi che tengono conto della struttura complessa. La congettura di William Hodge afferma che le classi di tipo (p,p) con coefficienti razionali si ottengono sempre come combinazioni razionali di classi di sottovarietà algebriche. Tradotta, la domanda è quanta parte della topologia dell'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni algebriche si possa descrivere con altre equazioni algebriche.

Diversi casi sono noti. Per p uguale a uno la risposta è affermativa grazie al teorema di Solomon Lefschetz sulle classi (1,1), che vale per ogni varietà kähleriana compatta, ed è l'unico caso della congettura dimostrato in quella generalità. Il teorema di Lefschetz difficile copre il caso complementare, e questo rende la congettura vera per tutte le varietà proiettive lisce di dimensione tre.

La formulazione originale con coefficienti interi è invece falsa. Michael Atiyah e Friedrich Hirzebruch costruirono controesempi nel 1962, e fu Alexander Grothendieck a osservare che l'enunciato regge solo passando ai coefficienti razionali. L'enunciato ufficiale del premio, redatto da Pierre Deligne, è la versione corretta.

La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer

Una curva ellittica definita sui numeri razionali ha un insieme di punti razionali che forma un gruppo. La congettura mette in relazione il rango di quel gruppo, cioè quanti generatori di ordine infinito servono a descriverlo, con il comportamento di una funzione analitica associata alla curva nel punto in cui la variabile complessa vale uno.

I casi di rango analitico zero e uno sono sotto controllo, grazie ai lavori di John Coates e Andrew Wiles, di Benedict Gross e Don Zagier e di Victor Kolyvagin. Sul fronte statistico, Manjul Bhargava, Christopher Skinner e Wei Zhang hanno dimostrato nel 2014 che almeno il 66,48 per cento delle curve ellittiche sui razionali, ordinate per altezza, soddisfa la parte della congettura relativa al rango e ha gruppo di Tate e Shafarevich finito.

Il rango due resta terra incognita. Nessun metodo generale copre le curve con rango analitico maggiore di uno, e la versione completa della congettura, quella che prevede anche il valore esatto del coefficiente principale, è verificata soltanto per famiglie particolari di curve.

Yang-Mills e il mass gap

L'enunciato, firmato da Arthur Jaffe ed Edward Witten, chiede di dimostrare che per ogni gruppo di gauge compatto e semplice esiste una teoria quantistica di Yang-Mills non banale nello spazio quadridimensionale, e che questa teoria possiede un mass gap positivo, cioè che la particella più leggera prevista dalla teoria ha massa diversa da zero.

Il compito è doppio. Bisogna costruire l'oggetto matematico rispettando assiomi almeno tanto severi quanto quelli formulati da Arthur Wightman e da Konrad Osterwalder e Robert Schrader, e poi dimostrarne una proprietà dinamica. Le simulazioni su reticolo e i dati sperimentali indicano che il mass gap esiste, e la cromodinamica quantistica funziona benissimo come teoria fisica. Manca la costruzione rigorosa in quattro dimensioni, disponibile invece in due e in tre.

Jaffe e Witten osservano che una soluzione aprirebbe domande ancora più difficili, come il confinamento dei quark e l'esistenza di teorie di gauge su varietà quadridimensionali arbitrarie. Questo è il problema che più di ogni altro sta a metà strada fra matematica e fisica teorica, e il solo la cui formulazione richiede di scegliere un sistema di assiomi.

Perelman, la dimostrazione e il milione rifiutato

Il metodo che ha chiuso la congettura di Poincaré è il flusso di Ricci, introdotto da Richard Hamilton nel 1982. L'idea consiste nel deformare progressivamente la metrica di una varietà come si diffonderebbe il calore, nella speranza che la forma si semplifichi da sé. Il programma si arenò su due ostacoli, un controllo locale sul raggio di iniettività e il rischio che le operazioni chirurgiche necessarie a superare le singolarità si accumulassero senza fine in un tempo finito.

Fra il novembre 2002 e il luglio 2003 Grigori Perelman depositò su arXiv tre preprint che rimuovevano quegli ostacoli. Erano brevi e in più punti sbrigativi. Ricostruire i passaggi mancanti richiese anni e tre esposizioni indipendenti, firmate da Bruce Kleiner e John Lott, da John Morgan e Gang Tian, da Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu, tutte apparse nel 2006. Solo a quel punto la comunità considerò l'argomento verificato in ogni passaggio rilevante.

Nello stesso 2006 Perelman rifiutò la medaglia Fields. Il 18 marzo 2010 il Clay Mathematics Institute annunciò l'assegnazione del premio del millennio, dopo la raccomandazione di un comitato speciale e del consiglio scientifico. L'8 e 9 giugno l'istituto organizzò a Parigi una conferenza per celebrare il risultato, e Perelman non si presentò. Il primo luglio comunicò il rifiuto del milione di dollari.

La ragione, riferita all'agenzia Interfax, riguardava l'attribuzione. Perelman considerava il proprio contributo non superiore a quello di Hamilton e giudicava ingiusta la decisione della comunità matematica organizzata. Il fondo destinato a quel problema è stato poi impiegato per finanziare, per cinque anni, la cattedra Poincaré presso l'Institut Henri Poincaré di Parigi, riservata a matematici a inizio carriera. Vale la pena ricordare che la vicenda del flusso di Ricci mostra quanto la verifica di una dimostrazione difficile sia un lavoro collettivo.

Navier-Stokes, cosa è stato annunciato nel settembre 2026

Il 7 settembre 2026 Tristan Buckmaster della New York University e Levent Alpöge, ricercatore in Anthropic, hanno reso pubblici tre preprint con dimostrazioni di formazione di singolarità in tempo finito con termine di forzamento liscio, per l'equazione del mezzo poroso incomprimibile, per il sistema di Boussinesq bidimensionale e per le equazioni di Euler tridimensionali incomprimibili. Le dimostrazioni sono state verificate formalmente nell'assistente di prova Lean. Terence Tao, commentando il lavoro sul proprio blog, lo ha giudicato un passo che rende plausibile completare l'obiettivo in tempi brevi.

Il giorno successivo OpenAI ha annunciato che un proprio modello interno, coordinando circa diecimila agenti, ha prodotto una dimostrazione di formazione di singolarità in tempo finito per le equazioni di Navier-Stokes tridimensionali, con dato iniziale liscio, forza esterna liscia ed energia finita lungo tutta l'evoluzione. Secondo l'annuncio pubblicato dall'azienda, il risultato stabilisce le affermazioni C e D dell'enunciato ufficiale, gli agenti hanno lavorato ottantotto ore e la formalizzazione in Lean ne ha richieste altre diciassette.

Il punto tecnico decisivo riguarda il forzamento. Le affermazioni C e D del testo di Fefferman ammettono una forza esterna, purché liscia e con opportuno decadimento, mentre le affermazioni A e B impongono forza nulla. Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa avevano ottenuto nel 2023 singolarità per una versione delle equazioni di Euler con un forzamento poco regolare, e il passaggio che mancava era rendere liscia la forza prodotta dalla loro costruzione a cascata infinita. Entrambi i gruppi del settembre 2026 lavorano su quella base.

Fefferman, autore dell'enunciato ufficiale, ha dichiarato a Quanta Magazine di essere stato felice per la soluzione del problema, indicando in Córdoba e Martínez-Zoroa i veri protagonisti della vicenda. La cronaca è complicata da una disputa su priorità e accesso ai dati, con Buckmaster che ha reso pubblici i contatti ricevuti da OpenAI prima della pubblicazione e Sébastien Bubeck, responsabile del gruppo di matematica dell'azienda, che respinge quelle ricostruzioni. Il dibattito su come cambia il lavoro matematico quando le dimostrazioni arrivano da un modello è appena iniziato.

Sul piano del premio la situazione è invece limpida. Il regolamento richiede pubblicazione su una sede qualificata, due anni di esame e accettazione generale, e OpenAI ha dichiarato di non intendere rivendicare il milione per questo risultato. La pagina ufficiale del Clay Mathematics Institute continua a elencare Navier-Stokes fra i problemi non risolti.

Nel regolamento del 2018 c'è una clausola che viene citata raramente e che dice molto sullo stile dell'istituto. Tutte le deliberazioni sui problemi e sui premi sono private e riservate, e nessun verbale o carteggio può diventare pubblico prima che siano passati cinquant'anni, salvo approvazione preventiva dei due consigli. Chi voglia sapere come venne discussa l'assegnazione a Perelman dovrà attendere il 2060.

Domande frequenti

Quali sono i sette problemi del millennio?

Sono la congettura di Poincaré, l'ipotesi di Riemann, il problema P contro NP, l'esistenza e la regolarità delle soluzioni delle equazioni di Navier-Stokes, la congettura di Hodge, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer e l'esistenza della teoria quantistica di Yang-Mills con mass gap positivo. Li ha scelti e annunciati a Parigi il Clay Mathematics Institute, nel maggio 2000.

Quanti problemi del millennio sono stati risolti?

Uno soltanto risulta risolto e premiato, la congettura di Poincaré, dimostrata da Grigori Perelman fra il 2002 e il 2003. Nel settembre 2026 è stata annunciata una dimostrazione per le equazioni di Navier-Stokes, ma il Clay Mathematics Institute continua a elencare quel problema fra i sei ancora aperti della lista.

Perché Perelman ha rifiutato il premio del millennio?

Perelman comunicò il rifiuto il primo luglio 2010, dopo avere già declinato la medaglia Fields nel 2006. All'agenzia Interfax spiegò di considerare il proprio contributo non superiore a quello di Richard Hamilton, che aveva introdotto il flusso di Ricci, e di ritenere ingiusta la decisione presa dalla comunità matematica organizzata.

Come si vince il premio da un milione di dollari?

La dimostrazione deve uscire su una rivista qualificata, con comitato editoriale contattabile, revisione dichiarata e presenza negli elenchi di MathSciNet. Devono poi passare almeno due anni e il risultato deve avere ottenuto accettazione generale fra i matematici. Solo allora il Clay Mathematics Institute valuta il caso, senza accettare proposte inviate direttamente.

L'intelligenza artificiale ha risolto il problema di Navier-Stokes?

OpenAI ha annunciato l'8 settembre 2026 una dimostrazione prodotta da un proprio modello interno, verificata in Lean, che stabilisce due delle quattro affermazioni dell'enunciato ufficiale. L'azienda ha dichiarato di non voler rivendicare il premio, e le regole richiedono comunque pubblicazione e due anni di esame prima di qualsiasi assegnazione.

Quanto vale il premio per l'ipotesi di Riemann?

Vale un milione di dollari, come ciascuno degli altri sei problemi del millennio. L'ipotesi resta aperta nonostante le verifiche numeriche fino ad altezza tremila miliardi ottenute da Platt e Trudgian e nonostante il miglioramento della stima di densità degli zeri ottenuto nel 2024 da Larry Guth e James Maynard.