Claude non ha dimostrato l’ipotesi di Riemann ma nel tentativo ha battuto un limite fermo dal 2020

Il 10 agosto 2026 Anthropic ha pubblicato una nota di ricerca che ha attraversato in poche ore la comunità matematica e quella dell'intelligenza artificiale, con letture spesso incompatibili tra loro. Una versione di ricerca non rilasciata di Claude ha migliorato un limite inferiore che resisteva da anni: la frazione minima garantita di zeri della funzione zeta di Riemann che si trovano sulla retta critica passa dal 41,6% al 67,25%. Il salto è reale, misurabile e già scritto in un paper corredato da una formalizzazione verificabile a macchina.

La cornice con cui la notizia è circolata, invece, merita attenzione. Nessuno ha dimostrato l'ipotesi di Riemann, e la stessa Anthropic dichiara di non aspettarsi che le tecniche impiegate portino in quella direzione. Il risultato è arrivato di traverso: al modello era stato chiesto di tentare l'ipotesi vera e propria, il tentativo è fallito, e lungo il percorso è emerso un avanzamento su un problema collegato. La differenza tra le due cose non è una sottigliezza da specialisti, perché riguarda esattamente il punto in cui la matematica del Novecento si è fermata.

Un problema aperto dal 1859

Bernhard Riemann formulò la sua congettura in una memoria di otto pagine presentata all'Accademia di Berlino. Il testo affrontava una domanda antica, la distribuzione dei numeri primi, con uno strumento nuovo: una funzione di variabile complessa, la zeta, che codifica in forma analitica informazioni aritmetiche apparentemente irriducibili a formule.

Da allora la congettura ha accumulato uno status particolare. Il Clay Mathematics Institute l'ha inserita tra i sette Millennium Prize Problems, con un premio da un milione di dollari ancora non assegnato. Più significativo del premio è il numero di teoremi che la assumono come ipotesi di lavoro: interi capitoli di teoria dei numeri esistono in versione condizionata, valida soltanto se l'ipotesi è vera, in attesa di una dimostrazione che non arriva.

Gli zeri e la struttura dei primi

La funzione zeta si annulla in certi punti del piano complesso. Alcuni annullamenti sono banali e ben compresi, altri no. Ogni zero non banale contribuisce un dettaglio più fine alla descrizione della successione dei primi, come un'armonica aggiuntiva che corregge un'approssimazione grossolana. La posizione di questi zeri determina quanto regolare o quanto irregolare possa essere la distribuzione dei primi.

L'ipotesi afferma che tutti gli zeri non banali si trovano allineati su una singola retta verticale, quella dei numeri complessi con parte reale pari a un mezzo. Se l'allineamento vale, i primi si comportano in modo pseudocasuale con margini di errore molto stretti. Se anche un solo zero cadesse fuori, le stime sui primi peggiorerebbero in modo controllato ma sensibile, e alcune dimostrazioni condizionate andrebbero riscritte.

La grandezza che si è mossa

Verificare la posizione degli zeri uno per uno non serve a dimostrare nulla: se ne conoscono miliardi, tutti sulla retta, e questo lascia intatta la possibilità che il primo fuori posto stia molto più in alto. La strada praticabile è un'altra, e consiste nel dimostrare che almeno una certa frazione degli zeri sta sulla retta, senza sapere quali.

Atle Selberg negli anni Quaranta stabilì che quella frazione è positiva, un risultato qualitativo senza valore numerico esplicito utile. Norman Levinson nel 1974 introdusse un metodo che produceva cifre: più di un terzo degli zeri, poi oltre il 34,7%. Brian Conrey nel 1989 arrivò a più di due quinti, in un lavoro che per trent'anni ha fatto da riferimento. Il record immediatamente precedente al risultato di cui si parla oggi appartiene a Kyle Pratt, Nicolas Robles, Alexandru Zaharescu e Dirk Zeindler, che nel 2020 hanno portato la soglia poco sopra i cinque dodicesimi, la cifra che Anthropic arrotonda al 41,6%.

Ogni passaggio di questa sequenza è costato anni di lavoro e ha guadagnato pochi punti percentuali. Il contesto spiega perché un balzo di oltre venticinque punti abbia attirato attenzione: non è la scala di miglioramento a cui il settore è abituato.

Che rapporto misura esattamente il 67,25%

La percentuale va letta con precisione, perché il teorema mette a confronto due conteggi diversi. Da una parte stanno gli zeri che si trovano sulla retta critica in una finestra di altezze, contati una volta ciascuno. Dall'altra stanno tutti gli zeri non banali della stessa finestra, contati con la loro molteplicità. Il teorema garantisce che il rapporto tra i due conteggi, al crescere dell'altezza, resti almeno pari a una costante esplicita: tre mezzi meno il prodotto tra uno su radice di due e la cotangente di uno su radice di due. Il valore numerico è 67,25%, che il comunicato di Anthropic arrotonda a 67,2%.

La scelta di contare gli zeri sulla retta senza molteplicità e gli zeri totali con molteplicità non è un dettaglio contabile. Rende l'enunciato più informativo, perché uno zero multiplo sulla retta pesa uno a sinistra e più di uno a destra: la disuguaglianza tiene anche in presenza di molteplicità, e questa è la forma in cui la letteratura esprime i risultati sulla proporzione di zeri semplici sulla retta critica. Chi confronta la nuova soglia con i record precedenti deve accertarsi di confrontare la stessa grandezza, perché i lavori sul 41% circolano in due versioni, una per gli zeri sulla retta e una, leggermente più bassa, per gli zeri sulla retta che sono anche semplici.

Su quali lavori umani poggia il risultato

Il paper prodotto dal modello non nasce nel vuoto. La sua architettura combina due filoni preesistenti, e riconoscerlo è parte della corretta valutazione di ciò che è accaduto.

Montgomery, 1973

Hugh Montgomery introdusse mezzo secolo fa un insieme di tecniche sulla correlazione a coppie degli zeri, il lavoro da cui è poi germinato tutto il rapporto tra teoria dei numeri e matrici casuali. Quelle tecniche avevano un limite pratico: funzionavano assumendo vera l'ipotesi di Riemann. Producevano quindi teoremi condizionati, inutilizzabili per abbassare o alzare limiti che devono valere senza ipotesi aggiuntive.

Il lavoro che ha rimosso l'ipotesi

Tra il 2023 e il 2025 Siegfred Baluyot, Daniel Goldston, Ade Irma Suriajaya e Caroline Turnage-Butterbaugh hanno pubblicato una serie di articoli che rendono utilizzabili le tecniche di Montgomery senza assumere l'ipotesi. La conseguenza è che uno strumento nato per dire cose su un mondo ipotetico diventa uno strumento per dire cose sul mondo reale, e quindi diventa candidabile al problema del limite inferiore. Il risultato di Claude si appoggia in modo determinante su questa serie, insieme a un articolo di Enrico Bombieri del 2000.

Il contributo specifico del modello, per come lo descrivono i matematici che lo hanno esaminato, riguarda il coraggio della configurazione. Anziché diagonalizzare e trattare separatamente i contributi degli zeri sulla retta e di quelli eventualmente fuori, il paper considera l'intero spazio in una volta, con la forma quadratica lasciata non diagonale, e ricava un limite inferiore sul rango della parte definita positiva a partire da informazioni di primo e secondo momento. Il passaggio tecnico che consente la conclusione è una disuguaglianza elementare su forme hermitiane, dimostrata in mezza pagina, applicata in un punto in cui nessuno l'aveva applicata.

Come ha lavorato il modello

La cronaca del processo è insolitamente dettagliata, e Anthropic ha pubblicato anche i transcript. La richiesta iniziale è arrivata da Jarred Sumner, dipendente dell'azienda e non matematico, con una formula volutamente aperta: tentare seriamente l'ipotesi. Nessuna indicazione su quale strada seguire, nessun suggerimento tecnico.

Il primo giro ha prodotto seicentocinquanta idee, nessuna funzionante. Il secondo giro è durato un giorno e mezzo e ha coinvolto una sessantina di subagenti coordinati dal modello principale, che tra loro hanno eseguito circa duemilaquattrocento comandi di shell e scritto centinaia di script Python, con migliaia di controlli numerici contro tabelle di zeri noti. La ripartizione dei ruoli, riportata in nota dall'azienda, dice qualcosa sul rendimento reale di questo tipo di lavoro: due subagenti hanno sviluppato le idee matematiche decisive, tredici hanno contribuito con spunti, trenta hanno tentato senza riuscirci, tredici hanno fatto da validatori sulla correttezza degli argomenti, due hanno scritto la prima stesura del paper.

Il conto complessivo è di due sessioni in Claude Code e trentuno milioni di token in output. L'apporto umano durante la fase produttiva si è ridotto, per ammissione dell'azienda, a messaggi di incoraggiamento: variazioni sul tema del continuare a provare e del credere nelle proprie possibilità. Il dettaglio ha un lato quasi comico e uno serio, perché il modello si era mostrato scettico sulla possibilità di ottenere qualcosa di sensato, plausibilmente per aver appreso in addestramento sia la difficoltà dei problemi aperti sia i limiti dei sistemi di intelligenza artificiale.

Le verifiche già fatte e quella che manca

Il modello, una volta ottenuto il risultato, ha organizzato da sé una batteria di controlli: revisione delle dimostrazioni da parte di subagenti diversi, ricerca di controesempi, scaricamento di cinquantaquattro articoli da arXiv per accertarsi che il risultato non fosse già noto, e una ridimostrazione indipendente da zero. Ha poi proposto di scrivere un paper e raccomandato che un teorico dei numeri umano validasse le conclusioni.

La validazione umana è arrivata su tre livelli. Levent Alpöge e Ralph Furman, i due matematici interni ad Anthropic, hanno studiato il lavoro e ne hanno prodotto una nota informale che enuncia la dimostrazione in forma compatta per gli specialisti. Eric Easley ha collaborato con il modello a una formalizzazione in Lean, pubblicata su GitHub, che supera il controllo dello strumento di validazione standard: una dimostrazione formalizzata e verificata da assistente di prova elimina la classe di errori più temuta, quella del passaggio logico plausibile e sbagliato. Brian Conrey e Daniel Goldston, entrambi con lavori propri su questo esatto problema, hanno esaminato il paper con poco preavviso.

Manca il passaggio istituzionale: nessuna rivista ha ancora sottoposto il lavoro a peer review tradizionale. Vale la pena notare che Goldston è coautore proprio della serie di articoli su cui il risultato si appoggia, il che rende la sua lettura informata e al tempo stesso non sostitutiva di un arbitraggio esterno.

Perché l'azienda frena sulle aspettative

Anthropic scrive con chiarezza di non attendersi che queste tecniche conducano a una dimostrazione dell'ipotesi. La ragione è strutturale. Un limite inferiore sulla frazione di zeri sulla retta, per quanto alto, resta una affermazione sulla maggioranza; l'ipotesi di Riemann è una affermazione su tutti gli zeri, nessuno escluso. Portare 67,25% a 99,9% non avvicinerebbe di un passo il 100%, perché il metodo dei momenti che genera queste stime perde qualunque presa quando la frazione residua tende a zero. Il salto dal quasi tutti al tutti richiede un'idea di natura diversa, che nessuno ha.

Chi ha titolato "l'intelligenza artificiale si avvicina all'ipotesi di Riemann" ha quindi descritto una geometria che non esiste. La formulazione corretta parla di un avanzamento su un problema adiacente, prodotto durante un tentativo fallito su quello principale.

Cosa cambia per chi fa matematica

L'episodio ha un valore documentario che prescinde dall'entità del teorema. Un sistema ha letto una letteratura recente, ha capito che due filoni indipendenti si potevano incastrare, ha eseguito i calcoli necessari, ha verificato numericamente, ha controllato la novità del risultato e ha scritto il paper. Il tutto partendo da un prompt di una riga formulato da chi non sa la materia.

Il modo in cui il risultato è nato indica anche il tipo di utilità realistica di questi strumenti nel breve periodo. Non tanto la produzione di idee sconosciute all'umanità, quanto l'esplorazione sistematica delle combinazioni possibili tra idee già pubblicate, in un regime di lettura e calcolo che nessun gruppo di ricerca umano può sostenere per volume. La letteratura matematica cresce a un ritmo che rende impossibile a chiunque presidiare più di una nicchia; le connessioni mancate tra sottocampi vicini sono probabilmente molte, e questa è la classe di problemi su cui un sistema del genere rende al massimo.

Resta il tema della verificabilità. La formalizzazione in Lean funziona come garanzia in un modo che la revisione umana di un paper generato in massa non potrebbe fornire: se il volume di risultati candidati cresce, il collo di bottiglia diventa il tempo dei revisori umani, e gli assistenti di prova sono l'unica strada nota per allargarlo.

Un numero già visto negli anni Settanta

C'è un dettaglio che ai teorici dei numeri sarà salito agli occhi immediatamente. Nel 1973 Montgomery, assumendo vera l'ipotesi di Riemann, ricavò dalle sue tecniche che più di due terzi degli zeri sono semplici. Poco dopo, insieme a Taylor, portò quella soglia condizionata a oltre il 67,2%. La costante che compare oggi nel teorema del modello, tre mezzi meno il prodotto tra uno su radice di due e la cotangente di uno su radice di due, vale 67,25%: lo stesso numero, dallo stesso problema variazionale, con la differenza che nella nuova versione l'ipotesi di Riemann non viene assunta da nessuna parte.

Cinquant'anni dopo, ciò che si sapeva soltanto immaginando vero il teorema più desiderato della matematica si sa senza immaginare niente. È un modo particolarmente sobrio di misurare quanto lentamente si muova questo terreno, e quanto valga la pena guardare ai numeri prima che ai titoli.