La matematica delle melodie orecchiabili: simmetria, teoria dei gruppi e strutture algebriche dietro i tormentoni analizzati dall’Università di Waterloo.
Le melodie che continuano a risuonare nella testa per ore, talvolta per giorni, sono oggetto di studio ben oltre l’ambito musicale. Il fenomeno dei tormentoni, cioè quei brani o frammenti sonori capaci di fissarsi nella mente con sorprendente persistenza, presenta caratteristiche strutturali che la matematica contemporanea sta iniziando a descrivere con strumenti formali rigorosi.
Una recente analisi condotta presso la University of Waterloo in Ontario ha affrontato il tema da un punto di vista strettamente algebrico, mettendo in evidenza un elemento ricorrente in molte melodie di successo: la simmetria. I risultati sono stati presentati alla 6th AMMCS-International Conference on Applied Mathematics, Modeling, and Computational Science, conferenza dedicata alle applicazioni avanzate della matematica nei sistemi complessi e pubblicati ad agosto 2025.
L’interesse per la relazione tra numeri e suoni affonda le radici nell’antichità. I filosofi pitagorici del V secolo a.C. avevano già individuato nei rapporti numerici tra lunghezze di corde vibranti la base delle consonanze musicali. Oggi, strumenti come la teoria dei gruppi permettono di formalizzare in modo sistematico le trasformazioni che modellano una melodia, distinguendo tra struttura tonale e struttura posizionale.
La riflessione matematica sulla musica nasce dall’osservazione che l’altezza dei suoni è legata a rapporti numerici precisi tra frequenze. La scoperta che l’ottava corrisponde a un rapporto 2:1 e la quinta giusta a un rapporto 3:2 ha posto le basi di un approccio quantitativo alla teoria musicale.
Con l’introduzione del sistema temperato e la divisione dell’ottava in 12 semitoni equidistanti, la musica occidentale ha acquisito una struttura discreta, particolarmente adatta alla formalizzazione matematica. Ogni nota della scala cromatica può essere rappresentata come un elemento di un insieme finito di 12 elementi. Questo consente di modellare le melodie come sequenze ordinate di numeri appartenenti a un sistema modulare.
Il passaggio da una concezione acustica basata su frequenze continue a una rappresentazione discreta apre la strada a strumenti dell’algebra astratta. In questo quadro, una melodia diventa un oggetto trasformabile, soggetto a operazioni che ne preservano o ne modificano determinate proprietà strutturali.
Il gruppo di ricerca dell’Università di Waterloo ha impostato l’analisi attribuendo a ciascuna delle 12 note della scala cromatica un valore numerico da 1 a 12. Questa scelta permette di trattare una melodia come una sequenza finita di elementi appartenenti a un insieme ciclico.
La procedura adottata si articola in tre passaggi fondamentali:
L’obiettivo dichiarato dai ricercatori è stato costruire un ponte matematico esplicito tra algebra astratta ed esperienza di ascolto. Considerando le melodie come “forme” suscettibili di trasformazione, diventa possibile individuare regolarità strutturali che non emergono immediatamente né all’orecchio né attraverso la semplice lettura dello spartito.
La teoria dei gruppi studia insiemi dotati di un’operazione che soddisfa proprietà specifiche: chiusura, associatività, esistenza dell’elemento neutro ed esistenza dell’inverso. Nel contesto musicale, le operazioni considerate sono trasformazioni applicate alle sequenze di note.
Tra le trasformazioni più rilevanti analizzate dallo studio figurano:
Queste operazioni costituiscono trasformazioni che possono essere composte tra loro. Il loro insieme, se soddisfa le proprietà richieste, forma un gruppo matematico. L’interesse non riguarda la singola trasformazione, ma la struttura complessiva generata dalla combinazione sistematica di tali operazioni.
Uno dei risultati centrali dell’analisi riguarda la distinzione tra due tipi di simmetria:
La simmetria tonale concerne le relazioni tra altezze relative delle note. Una melodia può mantenere la propria struttura intervallare pur cambiando tonalità attraverso una trasposizione. In termini matematici, questo significa che la sequenza numerica che rappresenta gli intervalli resta invariata rispetto a determinate trasformazioni.
La simmetria posizionale riguarda invece la disposizione delle note nel tempo. Operazioni come la retrogradazione o determinate inversioni temporali modificano l’ordine della sequenza senza alterarne necessariamente le relazioni intervallari fondamentali.
Secondo quanto emerso dallo studio, la separazione matematica netta tra struttura tonale e struttura posizionale consente di classificare in modo sistematico le melodie in base ai loro invarianti. Questa distinzione, descritta come sorprendentemente “pulita” dai ricercatori, permette di identificare pattern che risultano difficilmente percepibili all’ascolto immediato.
Una delle implicazioni più rilevanti del lavoro riguarda la possibilità di costruire ed enumerare sistematicamente tutte le melodie simmetriche di una certa lunghezza. Se si definisce un insieme finito di trasformazioni e si fissano vincoli strutturali, è possibile calcolare quante sequenze soddisfano determinate proprietà di simmetria.
Questo approccio non si limita a descrivere brani esistenti. Offre un metodo per esplorare lo spazio delle possibilità compositive. La matematica, in questo senso, diventa uno strumento generativo: individua regioni dello spazio melodico caratterizzate da elevata coerenza strutturale.
L’ipotesi implicita è che alcune di queste strutture possano risultare particolarmente memorabili. La presenza di simmetrie riduce la complessità percepita, favorendo la riconoscibilità e la riproducibilità mentale della sequenza sonora.
I tormentoni non si spiegano esclusivamente con la simmetria, ma la simmetria costituisce un elemento strutturale che contribuisce alla loro efficacia. La memoria musicale beneficia di configurazioni in cui esiste un equilibrio tra prevedibilità e variazione controllata.
Una melodia dotata di simmetrie tonali può essere facilmente ricollocata in memoria perché i rapporti intervallari si ripetono secondo schemi regolari. Se a questo si aggiunge una simmetria posizionale, l’intero frammento assume una coerenza interna che facilita il recupero mnemonico.
Le jingles pubblicitarie rappresentano un laboratorio privilegiato per osservare questi meccanismi. La durata ridotta impone una densità strutturale elevata: pochi secondi devono contenere elementi ripetibili, riconoscibili e strutturalmente coerenti.
L’industria pubblicitaria ha trasformato la scrittura di jingles in una disciplina professionale. Esistono percorsi universitari dedicati al commercial songwriting, che integrano teoria musicale, psicologia della percezione e tecniche di produzione.
Un esempio ci arriva direttamente dagli Stati Uniti. Infatti, il cantautore Nick Lutsko, autore di più album e vincitore di un Webby Award nel 2022 per un lavoro musicale legato a una campagna Old Spice, rappresenta un esempio di professionista formato in questo ambito. Durante il Super Bowl, due sue composizioni sono state trasmesse come parte di campagne pubblicitarie ad alta visibilità.
Nel suo caso, la genesi della melodia viene descritta come un processo immediato, quasi intuitivo. Alla lettura del testo fornito dall’azienda, la linea melodica si sarebbe imposta con rapidità, senza analisi consapevole delle strutture sottostanti. Questo non contraddice l’analisi matematica. La pratica compositiva può incorporare regolarità strutturali anche in assenza di formalizzazione esplicita.
La storia della musica mostra numerosi esempi di utilizzo intuitivo di simmetrie e trasformazioni. Compositori di epoche differenti hanno impiegato inversioni, retrogradazioni e trasposizioni ben prima che tali operazioni venissero descritte con il linguaggio della teoria dei gruppi.
La formalizzazione matematica non sostituisce ovviamente l’intuizione. Fornisce un modello descrittivo e analitico che consente di isolare proprietà invarianti e di comprendere perché determinate configurazioni risultino particolarmente stabili o memorabili.
Nel caso dei tormentoni, l’interesse scientifico non risiede nella valutazione estetica, ma nella struttura. L’analisi algebrica permette di distinguere tra:
Questa distinzione offre una base per studi futuri che integrino matematica, neuroscienze e psicologia cognitiva.
L’approccio sviluppato all’Università di Waterloo apre a diverse applicazioni. Sul piano teorico, consente una classificazione sistematica delle melodie in base alle loro proprietà di simmetria. Sul piano pratico, può diventare uno strumento di supporto alla composizione assistita da algoritmi.
La possibilità di enumerare melodie simmetriche per lunghezze date permette di costruire database strutturati di sequenze candidate. In ambito computazionale, tali sequenze possono essere integrate in sistemi di generazione musicale automatica.
L’interesse va oltre la musica commerciale. Anche l’analisi del repertorio storico può beneficiare di strumenti in grado di isolare trasformazioni strutturali che attraversano epoche e stili.
La relazione tra matematica e musica si manifesta oggi attraverso strumenti formali che superano l’intuizione descrittiva. La codifica numerica della scala cromatica, l’applicazione della teoria dei gruppi e la distinzione tra simmetria tonale e posizionale costituiscono un quadro coerente per analizzare le melodie come oggetti trasformabili.
Le jingles che rimangono in testa presentano spesso strutture interne ordinate, capaci di ridurre la complessità percepita e di favorire la reiterazione mentale. L’algebra non sostituisce la creatività, ma ne rende visibili le architetture.
La matematica delle melodie, studiata fin dall’antica Grecia, trova oggi nuove formulazioni nel linguaggio della computazione e dei sistemi discreti. Le sequenze sonore che attraversano la memoria individuale rivelano una dimensione strutturale che può essere analizzata, classificata e generata con strumenti rigorosi. La persistenza di un motivo musicale nella mente umana assume così anche la forma di una questione di simmetria.